综述文章的邀请是在2047年冬天寄到的。《数学年刊》的编辑来信说，他们希望有一篇能够覆盖挂谷猜想从1917年提出到当时完整发展历程的综述，时间跨度约一百三十年。信的末尾提到，编辑部认为她是"最适合撰写这篇综述的人选"，因为她的工作贯穿了该猜想后期最重要的那些阶段，且她的视角涵盖了该问题从纯几何方法到代数几何方法再到不同维度推广的演进路径。悦儿看完那封信后，在回复中接受。

她花了约一个月的时间来规划综述的结构。她坐在书桌前，面前摊着一张大幅的白纸，在最左侧标出了"1917"，最右侧标出"2048"，然后在中间的关键节点处放置了标记。她的规划不按线性时间推进，而是按照主题分组：起源与早期探索、二维证明、三维关键阶段、四维及代数几何方法、高维现状。她把这组主题用线段连成一条连续的路径，然后根据每个主题所占的篇幅比例调整了它们在纸张上的分布密度。

她在一张单独的纸上列了一个时间表，把那些关键年份和对应的事件并列排成两列：

1917——挂谷宗一在东京提出转针问题。

1920年代——贝西科维奇构造了面积可任意小的平面集合。

1971——戴维斯用六页纸证明了二维挂谷猜想。

1995——沃尔夫将三维的下界推进到2.5。

1999——陶哲轩、卡茨和拉巴将下界推进到2.5000000001。

2014——卡茨与陶哲轩提出粘性挂谷猜想的纲领，在论文的脚注中明确写入"该归约尚未被证明"。

2022——悦儿与扎尔发表粘性情形的证明。

2023-2024——悦儿与扎尔发表阿苏阿德维数版本的证明。

2025——悦儿与扎尔发表三维挂谷猜想的完整证明。

2036——悦儿发表四维挂谷猜想的证明。

2040年代——在代数几何方法的基础上形成的新框架，以新的视角纳入了一些相关的变体。

她对着这列时间表注视了很久。在那些介于两个相邻日期之间的空白中，并没有标注任何信息。那些空白被留空，等待着被填充。

她把那张纸放在书桌的左侧，开始写正文。她写综述的方式跟她写论文的方式不同——论文是从一个明确的起点出发推进到一个明确的终点，而综述需要在起点和终点之间构建一条可被外部读者追踪的路径，使读者在读完这条路径后能够在自己的脑海中重建整个发展过程的梗概。她在引言部分写道："挂谷猜想从1917年至今的变化过程，可以被视为一种关于维数概念的延伸过程。在它被提出的最初阶段，它是一个关于面积最小值的几何问题。后来它演变成一个关于集合维数的测度论问题。再后来它与傅里叶分析中的限制性猜想产生了对偶关系，使它的结构被扩展到了调和分析的框架中。在最近的阶段，代数几何的方法被引入来处理高维方向空间的边界条件。这个过程不是单向扩张的，它在不同阶段会收缩回更基础的定义，然后用新的工具重新展开，使方向空间在每个新的展开阶段中都以不同的形式覆盖原有区域。"

她在写这段引言时，把"方向"这个词放在"空间"前面，因为它在她对这个问题理解的历史中比体积更早出现，且在验证过程中一直保持着可定位性——每次当她面对一个新的维度时，方向的存在总是先于覆盖的构造。她在引言之后进入了正文部分，按照时间顺序逐一介绍了每个阶段的关键进展。

在早期探索部分，她写道："最初，挂谷猜想是一个关于平面上旋转长度的几何计算问题，而不是关于更高维空间中方向分布的系统性考察。后来的研究发现，平面上的最小面积构造与高维方向空间的维数问题之间存在着深层联系——当维度从二增加到三时，问题的结构发生了质变，而不仅仅是量变。"

她在关于二维证明的部分中写道："戴维斯的证明篇幅很短，在现有测量标准的对照下，仍可被用于对高维情形进行大致估算，因为他的覆盖方法在简化处理中保留了各个节点之间的底层连接关系——即使在后续的更高维度中引入了新的界面，那些连接关系中的大部分仍然保持原位，使得他的覆盖结构在多次扩展后仍然可以被追溯到它的原始位置。"

她在写三维部分时放慢了速度，因为那是她参与最深的阶段。她在该部分的引言段中写道："三维挂谷猜想从1995年的2.5的下界到2025年的完全证明，跨度三十年。中间经历了多次尝试和多次停顿，最终的证明建立在粘性分类、阿苏阿德维数估计和一般情形的归约这三个层次的累加上。每一层都依赖于前一层已经建立的结构，但每一层也都在前一层的基础上延伸了一段额外的距离。"